Потребитель располагает ограниченным денежным доходом (Д), который он расходует на приобретение двух товаров А и В по ценам Ра и Рб соответственно. Определить оптимальную комбинацию покупки товаров А и В, при условии, что потребитель расходует весь доход только на покупку данных товаров. Общая полезность зависит от комбинации данных товаров, количественное значение которой определяется по формуле:
TU = aX + bY - cX2 - dY2,
где a, b, c, d – параметры функции полезности;
X – количество купленного товара А;
Y – количество купленного товара В.
С учетом наличной суммы денежных средств, потребитель будет стремиться приобрести такую комбинацию товаров и услуг, которая максимизирует совокупную полезность. Потребитель использует так называемый «порядковый подход». Сначала он покупает благо, которое на один рубль его цены приносит наибольшую предельную полезность. По мере увеличения количества потребления первого блага, его предельная полезность уменьшается и может стать ниже предельной полезности второго блага. Потребитель, если у него еще есть денежные средства, будет приобретать второе благо, у которого так же будет уменьшаться предельная полезность – потребитель перейдет к покупке следующего по порядку блага, и так до тех пор, пока не будут израсходованы все денежные средства. Порядок или очередность приобретения благ выстраивается по величине убывания их предельной полезности l.
Определим максимизирующую комбинацию благ методом множителей Лагранжа. Пусть Ра, и Рб – цены на товары соответственно А и В. D – денежный доход потребителя, а TU = f(X,Y) – функция потребительской полезности от потребления товара А в количестве Х и товара В в количестве Y. Кривая безразличия определяется путем
TU = f(X,Y) = C,
де С – постоянная величина. Найдем полный дифференциал функции полезности
= 0,
поскольку TU = C. Решая полный дифференциал относительно
получим следующее
или 
Отсюда
есть наклон кривой безразличия или MRSxy. Отрицательный знак отражает отрицательный наклон кривой безразличия.
Все денежные средства потребитель затрачивает на покупку товаров А и В, поэтому уравнение бюджетного ограничения выглядит следующим образом:
D= РаX+РбY
Сбережения есть один из видов товаров.
Генерируется новая функция, которая соединяет в себе функцию полезности и уравнения ограничения. Для того, чтобы решение было определенным (с учетом множества неизвестных), вводится искусственное неизвестное, называемое множителем Лагранжа - l.
Z = f(X,Y)+ l(D - PaX - PbY)
где l – множитель Лагранжа.
Частные производные от Z находятся для каждой переменной и приравниваются к нулю для установления условий первого порядка:
Эти уравнения могут быть решены одновременно для определения максимизирующих полезность уровней покупок X,Y. Из данных уравнений следует:
То есть отношение предельных полезностей товаров к их ценам равняется множителю Лагранжа l. Согласно второму закону Госсена эти соотношения являются необходимыми условиями для максимизации потребителем совокупной полезности, а значение l − есть предельная полезность сбережений.
Для данного варианта решений имеем:
ТU = 16Х + 54Y − Х2 − 2Y2,
где а = 16, b = 54, c = 1, d = 2.
Если Pa = 2, Pb = 10, D = 70, то
Z = 16X + 54Y − X2 − 2Y2 + l(70 − 2X − 10Y)
Решая систему линейных уравнений, получим:
X = 5, Y = 6, l = 3
Покупатель должен купить товара А 5 единиц, товара В – 6 единиц и таким образом он израсходует все 70 рублей.
Транспорт, наряду с энергетикой, связью, образованием и здравоохранением, обеспечивает условия жизнедеятельности общества, являясь важным инструментом достижения социальных, экономических, внешнеполитических и других государственных приоритетов.